计算机基础
  • 数据结构
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图片都是我们手绘的,可以说非常用心了!

图是一种较为复杂的非线性结构。 为啥说其较为复杂呢?

根据前面的内容,我们知道:

  • 线性数据结构的元素满足唯一的线性关系,每个元素(除第一个和最后一个外)只有一个直接前趋和一个直接后继。
  • 树形数据结构的元素之间有着明显的层次关系。

但是,图形结构的元素之间的关系是任意的。

何为图呢? 简单来说,图就是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边组成的集合。通常表示为:G(V,E),其中,G表示一个图,V表示顶点的集合,E表示边的集合。

下图所展示的就是图这种数据结构,并且还是一张有向图。

图

图在我们日常生活中的例子很多!比如我们在社交软件上好友关系就可以用图来表示。

# 图的基本概念

# 顶点

图中的数据元素,我们称之为顶点,图至少有一个顶点(非空有穷集合)

对应到好友关系图,每一个用户就代表一个顶点。

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顶点之间的关系用边表示。

对应到好友关系图,两个用户是好友的话,那两者之间就存在一条边。

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度表示一个顶点包含多少条边,在有向图中,还分为出度和入度,出度表示从该顶点出去的边的条数,入度表示进入该顶点的边的条数。

对应到好友关系图,度就代表了某个人的好友数量。

# 无向图和有向图

边表示的是顶点之间的关系,有的关系是双向的,比如同学关系,A是B的同学,那么B也肯定是A的同学,那么在表示A和B的关系时,就不用关注方向,用不带箭头的边表示,这样的图就是无向图。

有的关系是有方向的,比如父子关系,师生关系,微博的关注关系,A是B的爸爸,但B肯定不是A的爸爸,A关注B,B不一定关注A。在这种情况下,我们就用带箭头的边表示二者的关系,这样的图就是有向图。

# 无权图和带权图

对于一个关系,如果我们只关心关系的有无,而不关心关系有多强,那么就可以用无权图表示二者的关系。

对于一个关系,如果我们既关心关系的有无,也关心关系的强度,比如描述地图上两个城市的关系,需要用到距离,那么就用带权图来表示,带权图中的每一条边一个数值表示权值,代表关系的强度。

下图就是一个带权有向图。

带权有向图

# 图的存储

# 邻接矩阵存储

邻接矩阵将图用二维矩阵存储,是一种较为直观的表示方式。

如果第i个顶点和第j个顶点之间有关系,且关系权值为n,则 A[i][j]=n

在无向图中,我们只关心关系的有无,所以当顶点i和顶点j有关系时,A[i][j]=1,当顶点i和顶点j没有关系时,A[i][j]=0。如下图所示:

无向图的邻接矩阵存储

值得注意的是:无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵,因为在无向图中,顶点i和顶点j有关系,则顶点j和顶点i必有关系。

有向图的邻接矩阵存储

邻接矩阵存储的方式优点是简单直接(直接使用一个二维数组即可),并且,在获取两个定点之间的关系的时候也非常高效(直接获取指定位置的数组元素的值即可)。但是,这种存储方式的缺点也比较明显,那就是比较浪费空间,

# 邻接表存储

针对上面邻接矩阵比较浪费内存空间的问题,诞生了图的另外一种存储方法—邻接表

邻接链表使用一个链表来存储某个顶点的所有后继相邻顶点。对于图中每个顶点Vi,把所有邻接于Vi的顶点Vj链成一个单链表,这个单链表称为顶点Vi的 邻接表。如下图所示:

无向图的邻接表存储

有向图的邻接表存储

大家可以数一数邻接表中所存储的元素的个数以及图中边的条数,你会发现:

  • 在无向图中,邻接表元素个数等于边的条数的两倍,如左图所示的无向图中,边的条数为7,邻接表存储的元素个数为14。
  • 在有向图中,邻接表元素个数等于边的条数,如右图所示的有向图中,边的条数为8,邻接表存储的元素个数为8。

# 图的搜索

# 广度优先搜索

广度优先搜索就像水面上的波纹一样一层一层向外扩展,如下图所示:

广度优先搜索图示

广度优先搜索的具体实现方式用到了之前所学过的线性数据结构——队列 。具体过程如下图所示:

第1步:

广度优先搜索1

第2步:

广度优先搜索2

第3步:

广度优先搜索3

第4步:

广度优先搜索4

第5步:

广度优先搜索5

第6步:

广度优先搜索6

# 深度优先搜索

深度优先搜索就是“一条路走到黑”,从源顶点开始,一直走到没有后继节点,才回溯到上一顶点,然后继续“一条路走到黑”,如下图所示:

深度优先搜索图示

和广度优先搜索类似,深度优先搜索的具体实现用到了另一种线性数据结构——栈 。具体过程如下图所示:

第1步:

深度优先搜索1

第2步:

深度优先搜索1

第3步:

深度优先搜索1

第4步:

深度优先搜索1

第5步:

深度优先搜索1

第6步:

深度优先搜索1