计算机基础
  • 数据结构
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树就是一种类似现实生活中的树的数据结构(倒置的树)。任何一颗非空树只有一个根节点。

一棵树具有以下特点:

  1. 一棵树中的任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通。
  2. 一棵树如果有 n 个结点,那么它一定恰好有 n-1 条边。
  3. 一棵树不包含回路。

下图就是一颗树,并且是一颗二叉树。

二叉树

如上图所示,通过上面这张图说明一下树中的常用概念:

  • 节点 :树中的每个元素都可以统称为节点。
  • 根节点 :顶层节点或者说没有父节点的节点。上图中 A 节点就是根节点。
  • 父节点 :若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点。上图中的 B 节点是 D 节点、E 节点的父节点。
  • 子节点 :一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。上图中 D 节点、E 节点是 B 节点的子节点。
  • 兄弟节点 :具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。上图中 D 节点、E 节点的共同父节点是 B 节点,故 D 和 E 为兄弟节点。
  • 叶子节点 :没有子节点的节点。上图中的 D、F、H、I 都是叶子节点。
  • 节点的高度 :该节点到叶子节点的最长路径所包含的边数。
  • 节点的深度 :根节点到该节点的路径所包含的边数
  • 节点的层数 :节点的深度+1。
  • 树的高度 :根节点的高度。

# 二叉树的分类

二叉树(Binary tree)是每个节点最多只有两个分支(即不存在分支度大于 2 的节点)的树结构。

二叉树 的分支通常被称作“左子树”或“右子树”。并且,二叉树 的分支具有左右次序,不能随意颠倒。

二叉树 的第 i 层至多拥有 2^(i-1) 个节点,深度为 k 的二叉树至多总共有 2^k-1 个节点

# 满二叉树

一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是 满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为 K,且结点总数是(2^k) -1 ,则它就是 满二叉树。如下图所示:

# 完全二叉树

除最后一层外,若其余层都是满的,并且最后一层或者是满的,或者是在右边缺少连续若干节点,则这个二叉树就是 完全二叉树

大家可以想象为一棵树从根结点开始扩展,扩展完左子节点才能开始扩展右子节点,每扩展完一层,才能继续扩展下一层。如下图所示:

完全二叉树有一个很好的性质:父结点和子节点的序号有着对应关系。

细心的小伙伴可能发现了,当根节点的值为 1 的情况下,若父结点的序号是 i,那么左子节点的序号就是 2i,右子节点的序号是 2i+1。这个性质使得完全二叉树利用数组存储时可以极大地节省空间,以及利用序号找到某个节点的父结点和子节点,后续二叉树的存储会详细介绍。

# 平衡二叉树

平衡二叉树 是一棵二叉排序树,且具有以下性质:

  1. 可以是一棵空树
  2. 如果不是空树,它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树的常用实现方法有 红黑树AVL 树替罪羊树加权平衡树伸展树 等。

在给大家展示平衡二叉树之前,先给大家看一棵树:

你管这玩意儿叫树???

没错,这玩意儿还真叫树,只不过这棵树已经退化为一个链表了,我们管它叫 斜树

如果这样,那我为啥不直接用链表呢?

谁说不是呢?

二叉树相比于链表,由于父子节点以及兄弟节点之间往往具有某种特殊的关系,这种关系使得我们在树中对数据进行搜索修改时,相对于链表更加快捷便利。

但是,如果二叉树退化为一个链表了,那么那么树所具有的优秀性质就难以表现出来,效率也会大打折,为了避免这样的情况,我们希望每个做 “家长”(父结点) 的,都 一碗水端平,分给左儿子和分给右儿子的尽可能一样多,相差最多不超过一层,如下图所示:

# 二叉树的存储

二叉树的存储主要分为 链式存储顺序存储 两种:

# 链式存储

和链表类似,二叉树的链式存储依靠指针将各个节点串联起来,不需要连续的存储空间。

每个节点包括三个属性:

  • 数据 data。data 不一定是单一的数据,根据不同情况,可以是多个具有不同类型的数据。
  • 左节点指针 left
  • 右节点指针 right。

可是 JAVA 没有指针啊!

那就直接引用对象呗(别问我对象哪里找)

# 顺序存储

顺序存储就是利用数组进行存储,数组中的每一个位置仅存储节点的 data,不存储左右子节点的指针,子节点的索引通过数组下标完成。根结点的序号为 1,对于每个节点 Node,假设它存储在数组中下标为 i 的位置,那么它的左子节点就存储在 2 _ i 的位置,它的右子节点存储在下标为 2 _ i+1 的位置。

一棵完全二叉树的数组顺序存储如下图所示:

大家可以试着填写一下存储如下二叉树的数组,比较一下和完全二叉树的顺序存储有何区别:

可以看到,如果我们要存储的二叉树不是完全二叉树,在数组中就会出现空隙,导致内存利用率降低

# 二叉树的遍历

# 先序遍历

二叉树的先序遍历,就是先输出根结点,再遍历左子树,最后遍历右子树,遍历左子树和右子树的时候,同样遵循先序遍历的规则,也就是说,我们可以递归实现先序遍历。

代码如下:

public void preOrder(TreeNode root){
	if(root == null){
		return;
	}
	system.out.println(root.data);
	preOrder(root.left);
	preOrder(root.right);
}
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# 中序遍历

二叉树的中序遍历,就是先递归中序遍历左子树,再输出根结点的值,再递归中序遍历右子树,大家可以想象成一巴掌把树压扁,父结点被拍到了左子节点和右子节点的中间,如下图所示:

代码如下:

public void inOrder(TreeNode root){
	if(root == null){
		return;
	}
	inOrder(root.left);
	system.out.println(root.data);
	inOrder(root.right);
}
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# 后序遍历

二叉树的后序遍历,就是先递归后序遍历左子树,再递归后序遍历右子树,最后输出根结点的值

代码如下:

public void postOrder(TreeNode root){
	if(root == null){
		return;
	}
	postOrder(root.left);
	postOrder(root.right);
	system.out.println(root.data);
}
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