并查集面试题总结：路径压缩、连通性与 Java 模板

并查集专门解决“分组”和“连通性”问题。两个元素是否属于同一组？合并两个集合后还有几个连通分量？图里加一条边是否会成环？这些都可以用并查集处理。

面试里它的代码不长，但 find 写不好会直接影响复杂度。

文章内容概览：

1. 什么是并查集？
2. 并查集如何用数组表示集合？
3. find、union、connected 分别做什么？
4. 路径压缩和按大小合并为什么能提速？
5. 并查集适合哪些连通性问题？

什么是并查集？

并查集（Disjoint Set Union，DSU，也叫 Union Find）维护的是一组互不相交的集合。它最擅长回答两类问题：

1. 查询：两个元素现在是不是属于同一个集合？
2. 合并：把两个元素所在的集合合并成一个集合。

它不关心集合内部的完整结构，也不关心两个点之间具体经过哪些边。比如在社交关系里，并查集可以快速告诉你 A 和 B 是否属于同一个关系网络；但它不会告诉你 A 到 B 的最短路径是什么。

这也是并查集和 BFS/DFS 的区别：BFS/DFS 更像是每次沿着图现场搜索；并查集则是把连通关系在合并过程中维护起来，后续查询直接看两个元素的代表节点是否一致。

并查集如何表示集合？

并查集通常用一个 parent 数组表示若干棵树组成的森林：

• parent[x] 表示元素 x 的父节点。
• 如果 parent[x] == x，说明 x 是所在集合的根节点。
• 一个集合只需要用根节点作为代表。

初始化时，每个元素都是一个单独的集合，所以每个元素的父节点都是自己：

parent[0] = 0
parent[1] = 1
parent[2] = 2
...

执行 union(0, 1) 后，可以让 1 的根节点挂到 0 的根节点下面。此时 0 和 1 就属于同一个集合。继续执行 union(1, 2) 时，虽然传入的是 1 和 2，但真正合并的是 1 的根节点和 2 的根节点。

所以，并查集里的关键不是“当前节点的父节点是谁”，而是“沿着父节点一直往上走，最终根节点是谁”。find(x) 做的就是这件事。

三个核心操作

并查集常见操作可以概括为三个：

操作	作用
find(x)	找到 x 所在集合的代表节点，也就是根节点
union(a, b)	合并 a 和 b 所在的两个集合
connected(a, b)	判断 a 和 b 的代表节点是否相同

如果两个元素的根节点相同，说明它们已经属于同一个集合；如果根节点不同，union 就把其中一个根节点挂到另一个根节点下面。

面试考察重点

• 能写 find 和 union。
• 能解释路径压缩的作用。
• 能用并查集统计连通分量。
• 能处理图中判环、朋友圈、省份数量、等式关系。
• 能说明并查集适合动态合并，不适合频繁删除。

从 Quick Find 到 Quick Union

理解并查集时，可以先看两个极端版本：

• Quick Find：数组里直接存每个元素所属集合编号。查询两个元素是否同组很快，但合并两个集合时，需要扫描整个数组修改集合编号。
• Quick Union：数组里存父节点，通过根节点代表集合。合并时只改一个根节点的父指针，但如果树很高，find 会变慢。

面试和刷题里常用的是 Quick Union 的优化版本：路径压缩 + 按大小/秩合并。

• 路径压缩：每次 find(x) 时，把沿途节点直接挂到根节点下面，后续再查这些节点会更快。
• 按大小合并：合并两个集合时，把小树挂到大树下面，尽量避免树长得太高。

这两个优化配合起来，能把并查集的多次操作压到非常接近常数时间。

基础模板

class UnionFind {
    private final int[] parent;
    private final int[] size;
    private int count;

    UnionFind(int n) {
        parent = new int[n];
        size = new int[n];
        count = n;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
    }

    int find(int x) {
        if (parent[x] != x) {
            parent[x] = find(parent[x]);
        }
        return parent[x];
    }

    boolean union(int a, int b) {
        int rootA = find(a);
        int rootB = find(b);
        if (rootA == rootB) {
            return false;
        }
        if (size[rootA] < size[rootB]) {
            parent[rootA] = rootB;
            size[rootB] += size[rootA];
        } else {
            parent[rootB] = rootA;
            size[rootA] += size[rootB];
        }
        count--;
        return true;
    }

    boolean connected(int a, int b) {
        return find(a) == find(b);
    }

    int count() {
        return count;
    }
}

parent[x] 表示 x 的父节点。根节点的父节点是自己。路径压缩会让查找路径上的节点直接挂到根节点下面，后续查询更快。

这份模板里有两个细节值得单独看：

1. find() 中的 parent[x] = find(parent[x]) 是路径压缩。递归返回根节点后，顺手把 x 直接连到根节点。
2. union() 中通过 size 决定谁挂到谁下面，这是按大小合并。这样可以减少树的高度增长。

count 表示当前还有多少个连通分量。每次 union() 真正合并了两个原本不连通的集合，count 才减 1；如果两个元素本来就连通，不能重复减少。

复杂度

使用路径压缩和按大小合并后，并查集单次操作的均摊复杂度是 O(α(n))，其中 α(n) 是反阿克曼函数，增长极慢。实际面试里一般说“近似常数时间”即可。

空间复杂度是 O(n)，主要来自 parent 和 size 数组。

典型场景

场景	处理方式
判断两个节点是否连通	比较 find(a) 和 find(b)
合并两个集合	union(a, b)
统计连通分量个数	初始化为 n，每次成功合并减 1
判断无向图是否有环	如果一条边两端已连通，再加边就成环
等式方程	先合并相等关系，再检查不等关系是否冲突

并查集特别适合“关系不断合并、查询是否同组”的问题，例如省份数量、冗余连接、账户合并、最小生成树中的 Kruskal 算法等。

不过，并查集不擅长处理删除关系。因为一旦两个集合合并，内部哪些边让它们连通的信息通常已经被压缩掉了。删除一条边后，集合是否仍然连通并不能靠简单修改 parent 数组得到。

易错点

• find 里要返回根节点，不是返回父节点。
• 路径压缩不要写丢递归返回值。
• union 时只有两个集合原本不连通，连通分量数量才减 1。
• 并查集适合合并，不擅长删除关系。
• 二维网格题需要把 (i, j) 映射成一维编号，例如 i * cols + j。

推荐练习题

• 547. 省份数量
• 684. 冗余连接
• 990. 等式方程的可满足性
• 1319. 连通网络的操作次数
• 200. 岛屿数量

参考资料

• Algorithms, 4th Edition：Union-Find
• Algorithms, 4th Edition：WeightedQuickUnionPathCompressionUF
• CP-Algorithms：Disjoint Set Union

写在最后

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